PENYIMPANGAN DATA

PENYIMPANGAN DATA

1.      Dasar konsep dan analisa penyimpangan data

Penyimpangan data adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku.

2.      Pengenalan dan pengoperasian penyimpangan data

·         Rentangan (range)

Range (rentangan) adalah jarak antara nilai data yang tertinggi dengannilai data yang terendah atau nilai tertinggi dikurangi nilai terendah.;

Rumus : data tertinggi – data terendah 

-          Contoh : data nilai UAS Statistika

Kelas A : 90 80 70 90 70 100 80 50 75 70

Kelas B : 80 80 75 95 75 70 95 60 85 60

Langkah-langkah menjawab :

-          Urutkan dulu kemudian dihitung rentangannya.

Kelas A : 50 70 70 70 75 80 80 90 90 100

Kelas B : 60 60 70 75 75 80 80 85 95

Rentangan kelas A : 100 – 50 = 50

Rentangan kelas B : 95 – 60 = 35

·         Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

 

dimana xi merupakan nilai data

·         Varians

Varians dan standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang menunjukan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai rata-ratanya.

Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Varians dapat dibedakan antara varians populasi dan varians sampel. Varians populasi (σ dibaca tho) adalah deviasi kuadrat dari setiap data terhadap rata-rata hitung semua data dalam populasi. Varians sampel adalah deviasi kuadrat dari setiap data rata-rata hitung terhadap semua data dalam sampel dimana sampel adalah bagian dari populasi.

            Varians memiliki kelemahan dimana nilai varians dalam bentuk kuadrad, seperti tahun kuadrat dalam hal tertentu lebih suit menginterpretasikannya dibandingkan dengan ukuran range yang merupakan selisih nilai tertinggi dan nilai terendah atau deviasi rata-rata yang merupakan rata-rata hitung selisih data dari rata-rata hitungnya. Oleh sebab itu, untuk memperoleh satuian yang sama dengan satuan data awal, maka dilakukan dengan mencari akar kuadrad dari varians populasi. Akar kuadrad dari varians populasi disebut standar deviasi.

·         Standar Deviasi

Standar deviasi disebut juga simpangan baku.  Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi.  Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai.  Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya.  Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm.  Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²).  Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Standar Deviasi Untuk Populasi

Standar Deviasi Untuk Sampel

Contoh data tunggal

Untuk mendapatkan nilai variansi dan standar deviasi dari contoh di atas dapat kita lihat pada penjelasan berikut ini:

Dari contoh tersebut diatas sudah jelas dari mana kita mendapatkan (xi – x)2 tersebut.

Variansi yang akan kita pakai disini juga variansi sampel, karena data yang kita gunakan adalalah data sampel. Dari rumus diatas sudah jelas bagai mana kita dapat mendapatkan nilai tersebut.

Jadi, Variansi: Sampel (s2) = 9.5 / 5 = 1.9. Varian sampel yang kita dapat yaitu: 1.9. dan Standar Deviasi (S) = √1.9 = 1.38.

Varians dan Standar Deviasi data Kelompok

Rumus varians dan standar deviasi untuk data kelompok adalah sebagai berikut

Contoh dari Varians dan Standar Deviasi untuk data berkelompok

Berikut merupakan nilai statistik dari 50 mahasiswa.

Kegunaan deviasi rata-rata dan deviasi standar

Baik deviasi rata-rata maupun deviasi standar keduanya berguna sebagai ukuran untuk mengetahui variabilitas data dan untuk mengetahui homogenitas data.

NILAI SENTRAL

NAMA            : MAHYUDIN AMUZI

STAMBUK     : 17-630-017

NILAI SENTRAL

Nilai sentral atau nilai rata-rata juga di sebut nilai tengah dari sekumpulan data statistic adalah suatu nilai dalam kumpulan atau rangkaian data yang dapat mewakili kumpulan atau rangkaian data tersebut.

Jenis atau macam nilai sentral :

1. Rata-rata hitung ( mean )

Mean adalah nilai rata-rata dari beberapa buah data. Nilai mean dapat ditentukan dengan membagi jumlah data dengan banyaknya data.Mean (rata-rata) merupakan suatu ukuran pemusatan data. Mean suatu data juga merupakan statistic karena mampu menggambarkan bahwa data tersebut berada pada kisaran mean data tersebut. Mean tidak dapat digunakan sebagai ukuran pemusatan untuk jenis data nominal dan ordinal. Berdasarkan definisi dari mean adalah jumlah seluruh data dibagi dengan banyaknya data. Dengan kata lain jika kita memiliki N data sebagai berikut maka mean data tersebut dapat kita tuliskan sebagai berikut :

Dimana:
x          = data ke n

Xbar    = x rata-rata = nilai rata-rata sampel

n          = banyaknya data

Bisa juga Menghitung mean

a)    Rumus Mean Hitungdari Data Tunggal

 
b) Rumus Mean Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi

Dengan :

fixi       = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian

xi         = data ke-1

c)  Rumus Mean Hitung Gabungan

2. Median

            Median menentukan letak tengah data setelah data disusun menurut urutan  nilainya. Bisajuga nilai tengah dari data-data yang terurut. Simboluntuk median adalah Me.  Dengan median Me, maka 50% dari banyak data nilainya paling tinggi sama dengan Me, dan 50% dari banyak data nilainya paling rendah sama dengan Me. Dalam  mencari median, dibedakan  untuk banyak data ganjil  dan banyak data genap.  Untuk  banyak data ganjil, setelah data disusun menurut nilainya, maka median Me adalah data yang terletak tepat di tengah. Median bias dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

Variansi merupakan salah satu ukuran sebaran yang paling sering digunakan dalam berbagai analisis statistika. Standar deviasi merupakan akar kuadrat positif dari variansi.Secaraumum, variansi dirumuskan sabagai berikut :

Contoh:

Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh nilai 82, 93, 86, 92, dan 79. Tentukan median populasi ini. jawab: Setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh  79 82 86 92 93 Oleh karena itu medianya adalah 86
Kadanikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3, 2.7, 2.5, 2.9, 3.1, dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya.

jawab:

Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka diperoleh 1.9 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7, yaitu 

Selain itu juga dapat dicari median dari data yang telah tersusun dalam bentuk distribusi frekuensi Rumus yang di gunakan ada dua, yaitu

Dimana :

Bak     = batas kelas atas median

c          =  lebar kelas

s’         = selisih antara nomor frekuensi median dengan frekuensi kumulatif sampai kelas  median

M         = frekuensikelas median

Sebelum menggunakan kedua rumus di atas, terlebih dahulu harus ditentukan kelas yang menjadi kelas median.Kelas median adalah kelas yang memuat nomor frekuensi median, dan nomor frekuensi median ini ditentukan dengan membagi keseluruhan data dengan dua.Secara singkat rumus median dapat digunakan sebagai berikut dalam perhitungan menggunakan tabel data

Keterangan

Md       :Nilai Median

L          : Tepi bawah dari kelas yang mengandung median

n          : Jumlah data

fc         : frekuensi komulatif pada kelas sebelum kelas median

fm        :frekuensi (absolut) dari kelas terdapatnya median

C         : Kelas interval

3.  Modus

Modus adalah nilai yang sering muncul.Jika kita tertarik pada data frekuensi, jumlah dari suatu nilai dari kumpulan data, maka kita menggunakan modus. Modus sangat baik bila digunakan untuk data yang memiliki skala kategori yaitu nominal atau ordinal.
Sedangkan data ordinal adalah data kategori yang bias diurutkan, misalnya kita menanyakan kepada 100 orang tentang kebiasaan untuk mencuci kaki sebelum tidur, dengan pilihan jawaban: selalu (5), sering (4), kadang-kadang(3), jarang (2), tidak pernah (1). Apabila kita ingin melihat ukuran pemusatannya lebih baik menggunakan modus yaitu jawaban yang paling banyak dipilih, misalnya sering (2). Berarti sebagian besar orang dari 100 orang yang ditanyakan menjawab sering mencuci kaki sebelum tidur. Inilah cara menghitung modus:

§   Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum di kelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.

§  Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan di hitung dengan rumus:

Dengan :

Mo       = Modus

L          = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1        = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2        = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

Contoh:
Sumbangan dari warga Bogor padahari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp 9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000, Rp 10.000, Rp 11.000. Maka modusnya, yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi paling tinggi, adalah Rp 9.000. Dari duabelas pelajar sekolah lanjutan tingkat atas yang diambil secara acak dicatat berapa kali mereka menonton film selama sebulan lalu. Data yang diperoleh adalah 2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 5, 4, 0, 1 dan 4. Dalam kasus ini terdapat dua model, yaitu 2 dan 4, karena 2 dan 4 terdapat dengan frekuensi tertinggi. Distribusi demikian dikatakan modus.

§  Standar defiasi

Standar Deviasi dan Varians Salah satu teknik statistic yang digunakan untuk menjelaskan homogenitas kelompok. Varians merupakan jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual terhadap rata-rata kelompok. Sedangkan akar dari varians disebut dengan standar deviasi atau simpangan baku. Standar Deviasi dan Varians Simpangan baku merupakan variasi sebaran data. Semakin kecil nilai sebarannya berarti variasi nilai data makin sama Jika sebarannya bernilai 0, maka nilai semua datanya adalah sama. Semakin besar nilai sebarannya berarti data semakin bervariasi. Cara penulisan rumus fungsi standar deviasi STDEV (number1, number2) Dengan : Number1, number2, … adalah 1-255 argumen yang sesuai dengan sampel populasi. Anda juga dapat menggunakan array tunggal atau referensi ke array, bukan argumen yang dipisahkan oleh koma.

Keterangan

a.    STDEV mengasumsikan bahwa argument adalah contoh dari populasi. Jika data anda mewakili seluruh populasi, untuk menghitung deviasi standar menggunakan STDEVP.

b.    Standar deviasi dihitung menggunakan metode “n-1″ .

c.    Argumen dapat berupa nomor atau nama, array, atau referensi yang mengandung angka.

d.    Nilai-nilai logis dan representasi teks dari nomor yang Anda ketik langsung ke daftar argument akan dihitung.

e.    Jika argument adalah sebuah array atau referensi, hanya nomor/angka dalam array atau referensi yang akan dihitung. Sel kosong, nilai-nilai logis, teks, atau nilai-nilai kesalahan dalam array atau referensi akan diabaikan.

f.     Argumen yang kesalahan nilai atau teks yang tidak dapat diterjemahkan kedalam nomor/angka akan menyebabkan kesalahan. g. Jika Anda ingin memasukkan nilai-nilai logis dan representasi teks angka dalam referensi sebagai bagian dari perhitungan, gunakan fungsi STDEVA.

g.    Dalam penerapannya STDEV , perhitungan standar deviasi secara manual menggunakan rumus berikut

h.    Dimana:

x          = data ke n

xbar    = x rata-rata = nilai rata-rata sampel

n          = banyaknya data

variansi merupakan salah satu ukuran sebaran yang paling sering digunakan dalam berbagai analisis statistika. Standar deviasi merupakan akar kuadrat positif dari variansi. Secara umum, variansi dirumuskan sebagai :

Jika kita memiliki n observasi yaitu X1,X2,….Xn, dan diketahui X adalah rata-rata sampel yang dimiliki, maka variansi dapat dihitung sebagai :


 Contoh:
Jika dimiliki data : 210, 340, 525, 450, 275 Maka variansi dan standar deviasinya

mean = (210, 340, 525, 450, 275)/5 = 360 variansi dan standar deviasi berturut-turut

Sedangkan jika data disajikan dalam table distribusi frekuensi, variansi sampel dapat dihitung sebagai :