UJI CHI KUADRAT

NAMA                                    : MAHYUDIN AMUZI

NO.STAMBUK         : 17-630-017

UJI CHI KUADRAT (χ2)

1.      Pendahuluan

Chi Kuadrat (χ²) satu sampel adalah teknik statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis bila dalam populasi terdiri atas dua atau lebih kelas dimana data berbentuk nominal dan sampelnya besar.

Rumus dari Chi Kuadrat adalah:

Dimana

χ²    =  Chi Kuadrat

f_o      =  Frekuensi yang di observasi

f_h      =  Frekuensi yang diharapkan

2.      Ketentuan Pemakaian Chi-Kuadrat (χ²)

Agar pengujian hipotesis dengan Chi Kuadrat dapat digunakan dengan baik, maka hendaknya memperhatikan ketentuan-ketentuan sebagai berikut :

a.       Jumlah sampel harus cukup besar untuk meyakinkan kita bahwa terdapat kesamaan antara distribusi teoritis dengan distribusi sampling Chi Kuadrat.

b.      Pengamatan harus bersifat independen (unpaired). Ini berarti bahwa jawaban satu subjek tidak berpengaruh terhadap jawaban subjek lain atau satu subjek hanya satu kali digunakan dalam analisis.

c.       Pengujian Chi Kuadrat hanya dapat digunakan pada data deskrit (data frekuensi atau data kategori) atau data kontinu yang telah dikelompokan menjadi kategori.

d.      Jumlah frekuensi yang diharapkan harus sama dengan jumlah frekuensi yang diamati.

e.       Pada derajat kebebasan sama dengan 1, tidak boleh ada nilai ekspektasi yang sangat kecil. Secara umum, bila nilai yang diharapkan terletak dalam satu sel terlalu kecil (< 5) sebaiknya Chi Kuadrat tidak digunakan karena dapat menimbulkan taksiran yang berlebih (over estimate) sehingga banyak hipotesis yang ditolak kecuali dengan koreksi dari Yates. Bila tidak cukup besar, maka adanya satu nilai ekspektasi yang lebih kecil dari 5 tidak akan banyak mempengaruhi hasil yang diinginkan. Pada pengujian Chi Kuadrat dengan banyak ketegori, bila terdapat lebih dari satu nilai ekspektasi kurang dari 5 maka, nilai-nilai ekspektasi tersebut dapat digabungkan dengan konsekuensi jumlah kategori akan berkurang dan informasi yang diperoleh juga berkurang.

3.      Contoh Soal

Berikut ini dikemukakan Chi Kuadrat untuk menguji hipotesis deskriptif (satu sampel) yang terdiri atas dua kategori dan empat kategori atau kelas.

Contoh 1 untuk dua kategori:

Telah dilakukan pengumpulan data untuk mengetahui bagaimana kemungkinan rakyat dikabupaten A dalam memilih dua calon kepala desa. Calon yang satu adalah wanita dan calon yang kedua adalah pria. Sampel sebagai sumber data diambil secara random sebanyak 300 orang. Dari sampel tersebut ternyata 200 orang memilih pria dan 100 orang memilih wanita.

Hipotesis yang diajukan adalah:

Ho: peluang calon pria dan wanita adalah sama untuk dapat dipilih menjadi kepala desa.

Ha: peluang calon pria dan wanita adalah tidak sama untuk dapat di pilih menjadi kepala desa.

Untuk dapat membuktikan hipotesis dengan menggunakan rumus tadi, maka data yang terkumpul perlu disusun ke dalam tabel:

KECENDRUNGAN RAKYAT DI KABUPATEN

A DALAM MEMILIH KEPALA DESA

Alternatif Calon Kepala Desa	Frekuensi yang diperoleh	Frekuensi yang diharapkan
Calon Pria Calon Wanita	200 100	150 150
Jumlah	300	300

Catatan: Jumlah frekuensi yang diharapkan adalah sama yaitu 50% : 50% dari seluruh sampel.

Untuk dapat menghitung besarnya Chi Kuadrat (χ²) dengan menggunakan rumus tadi, maka diperlukan tabel penolong seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut.

TABEL PENOLONG UNTUK MENGHITUNG CHI KUADRAT

DARI 300 ORANG SAMPEL

Alternatif Pilihan	fo	fh	fo - fh	(fo – fh)2	(fo – fh)2/ fh
Pria Wanita	200 100	150 150	50 -50	2500 2500	16,67 16,67
Jumlah	300	300	0	5000	33,33

Catatan: Disini frekuensi yang diharapkan (f_h) untuk kelompok yang memilih pria dan wanita = 50%. Jadi, 50% x 300 = 150

Harga Chi Kuadrat dari perhitungan dengan rumus ditunjukkan pada tabel di atas yakni jalur paling kanan yang besarnya 33,33.

Untuk dapat membuat keputusan tentang hipotesis yang diajukan diterima atau di tolak, maka harga chi kuadrat tersebut perlu dibandingkan dengan Chi Kuadrat tabel dengan derajat kebebasab dan taraf kesalahan tertentu. Dalam hal ini berlaku ketentuan bila Chi Kuadrat hitung lebih kecil dari tabel, maka Ho diterima, dan apabila lebih besar atau sama dengan (≥) harga tabel maka Ho ditolak.

Derajat kebebasan untuk Chi Kuadrat tidak tergantung pada jumlah individu dalam sampel. Derajat kebebasan akan tergantung pada kebebasan dalam mengisi kolom-kolom pada frekuensi yang yang diharapkan (f_h) setelah disusun kedalam tabel berikut ini.

Kategori

I	A	M
II	B	N
	(a + b)	(m + n)

Dalam hal ini frekuensi yang diobservasi (f_o) harus sama dengan frekuensi yang diharapkan (f_h). Jadi (a + b) = (m + n) dengan demikian kita mempunyai kebebasan untuk menetapkan frekuensi yang diharapkan (f_h) = (m + n). Jadi kebebasan yang dimiliki tinggal satu yaitu kebebasan dalam menetapkan m atau n. Jadi untuk model ini derajat kebebasannya (dk) = 1.

Berdasarkan dk = 1 dan taraf kesalahan yang kita tetapkan 5% maka harga Chi Kuadrat tabel = 3,841. Ternyata harga Chi Kuadrat hitung lebih besar dari tabel (33,33 > 3,841). Sesuai ketentuan kalau harga Chi Kuadrat hitung lebih besar dari tabel, maka Ho ditolak dan Ha diterima. Jadi, kesimpulannya, hipotesis nol yang diajukan bahwa peluang pria dan wanita sama untuk dipilih menjadi kepala desa di kabupaten itu ditolak. Hasil penelitian menunjukkan bahwa masyarakat di kabupaten itu cenderung memilih pria menjadi Kepala Desa.

Contoh 2 untuk empat kategori

Telah dilakukan penelitian untuk mengetahui bagaimana kemungkinan beberapa warna mobil dipilih oleh masyarakat Baubau. Berdasarkan pengamatan selama 1 minggu terhadap mobil-mobil pribadi ditemukan 1000 berwarna biru, 900 berwarna merah, 600 berwarna putih, dan 500 berwarna yang lain.

Ho : Peluang masyarakat Madura untuk memilih empat warna mobil adalah sama.

Ha : Peluang masyarakat Madura untuk memilih empat warna mobil tidak sama.

Untuk menguji hipotesis tersebut di atas, maka data hasil pengamatan perlu disusun ke dalam tabel penolong. Karena dalam penelitian ini terdiri dari empat kategori, maka derajat kebebasannya adalah (dk) = 4 -1 = 3.

FREKUENSI YANG DIPEROLEH DAN DIHARAPKAN

DARI 300 WARNA MOBIL YANG DIPILIH

OLEH MASYARAKAT BAUBAU

Warna Mobil	fo	fh	fo - fh	(fo – fh)2	(fo – fh)2/ fh
Biru Merah Putih Warna lain	1.000 900 600 500	750 750 750 750	250 150 -150 -250	62.500 22.500 22.500 62.500	83,33 30,00 30,00 83,33
Jumlah	3000	3000	0	170.000	226,67

Catatan: Frekuensi yang diharapkan (f_h) untuk setiap kategori adalah 3000 : 4 = 750

Berdasarkan dk = 3 dan kesalahan 5%, maka diperoleh harga Chi Kuadrat Tabel = 7,815. Ternyata harga Chi Kuadrat hitung lebih besar dari harga Chi Kuadrat Tabel (226,67 > 7,815). Karena (χ²) hitung > dari (χ²) tabel, maka Ho ditolak dan Ha diterima. Ini berarti peluang masyarakat Madura untuk memilih empat empat warna mobil berbeda atau tidak sama. Berdasarkan data sampel ternyata warna mobil biru yang mendapat peluang tertinggi untuk dipilih masyarakat Baubau. Ini juga berarti mobil warna biru yang paling laku di masyarakat itu.

UJI BEDA RATA-RATA

UJI BEDA RATA-RATA

·         KONSEP DAN PRINSIP DASAR UJI BEDA RATA-RATA

Prinsip uji beda rata-rata dua populasi independen adalah bahwa kedua populasi tidak memiliki hubungan (saling independen). Artinya populasi satu tidak bergantung kepada populasi yang lain. Misalnya kita ingin tahu apakah ada perbedaan rata-rata nilai mata kuliah Statistik antara mahasiwa Fak. Kedokteran yang diberikan tutorial dengan mahasiswa Fak. Kedokteran yang tidak diberikan tutorial. 

Pertama: lakukan uji normalitas dengan histogram dan PP Plot    

Data sudah memenuhi asumsi kenormalan.

·         PENGENALAN DAN PENGOPERASIAN METODE BISECTION LANJUTAN

Metode Bisection  merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier. Metode Bidang Bebas’ atau lebih spesifik lagi ‘Metode Bidang Paruh’ (Bisection).

            Prinsip dari metode ini adalah “pemaruhan” (nilai rata-rata) dari nilai estimasi akar suatu Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal

            Metode ini pada umumnya memerlukan 2 (dua) buah tebakan untuk harga-harga x-awal (x0 dan

Prinsip Utama Metode Bisection  Sebagai Berikut:

1)      Menggunakan dua buah nilai awal untuk mengurung salah satu/ lebih akar persamaan non linier.

2)      Nilai akarnya diduga melalui nilai tengah antara dua nilai awal yang ada.

Representasi grafik dari metode bisection adalah sebagai berikut :

ž  Untuk menggunakan metode bisection, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah: Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda. Setelah diketahui dibagian mana yang terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

ž  Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a) × f(b) < 0.

ž  Dengan rumusan c = (a+b)/2, diperiksa apakah nilai mutlak f(c ) < 0 (batas simpangan kesalahan). Jika benar, nilai x = c adalah solusi yang dicari. Jika tidak terpenuhi, ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = c

ž  apabila f(a)*f(c) = 0; proses menemukan c baru dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan.

Contoh soal :

Hitung √2 . Misalkan f(x) = 2 – x2.

ž  Jawab:
Misalkan f(x) = 2 – x2.
Maka: f(1)=1 dan f(2)=2.
Jadi akar terletak antara x1= 1 dan x2= 2.
Titik tengah xn = ((x_1+x_2)/2)
= ( (1+2) / 2 )
= 3/2 = 1,5
   f(x_n ) =  2 - (x_n )^2
   f(1,5) = 2 - (1,5)^2
=2-2,25
=-0,25

ž  Kesimpulan:

Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi,

semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.

PENYIMPANGAN DATA

PENYIMPANGAN DATA

1.      Dasar konsep dan analisa penyimpangan data

Penyimpangan data adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku.

2.      Pengenalan dan pengoperasian penyimpangan data

·         Rentangan (range)

Range (rentangan) adalah jarak antara nilai data yang tertinggi dengannilai data yang terendah atau nilai tertinggi dikurangi nilai terendah.;

Rumus : data tertinggi – data terendah 

-          Contoh : data nilai UAS Statistika

Kelas A : 90 80 70 90 70 100 80 50 75 70

Kelas B : 80 80 75 95 75 70 95 60 85 60

Langkah-langkah menjawab :

-          Urutkan dulu kemudian dihitung rentangannya.

Kelas A : 50 70 70 70 75 80 80 90 90 100

Kelas B : 60 60 70 75 75 80 80 85 95

Rentangan kelas A : 100 – 50 = 50

Rentangan kelas B : 95 – 60 = 35

·         Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

 

dimana xi merupakan nilai data

·         Varians

Varians dan standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang menunjukan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai rata-ratanya.

Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Varians dapat dibedakan antara varians populasi dan varians sampel. Varians populasi (σ dibaca tho) adalah deviasi kuadrat dari setiap data terhadap rata-rata hitung semua data dalam populasi. Varians sampel adalah deviasi kuadrat dari setiap data rata-rata hitung terhadap semua data dalam sampel dimana sampel adalah bagian dari populasi.

            Varians memiliki kelemahan dimana nilai varians dalam bentuk kuadrad, seperti tahun kuadrat dalam hal tertentu lebih suit menginterpretasikannya dibandingkan dengan ukuran range yang merupakan selisih nilai tertinggi dan nilai terendah atau deviasi rata-rata yang merupakan rata-rata hitung selisih data dari rata-rata hitungnya. Oleh sebab itu, untuk memperoleh satuian yang sama dengan satuan data awal, maka dilakukan dengan mencari akar kuadrad dari varians populasi. Akar kuadrad dari varians populasi disebut standar deviasi.

·         Standar Deviasi

Standar deviasi disebut juga simpangan baku.  Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi.  Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai.  Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya.  Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm.  Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²).  Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Standar Deviasi Untuk Populasi

Standar Deviasi Untuk Sampel

Contoh data tunggal

Untuk mendapatkan nilai variansi dan standar deviasi dari contoh di atas dapat kita lihat pada penjelasan berikut ini:

Dari contoh tersebut diatas sudah jelas dari mana kita mendapatkan (xi – x)2 tersebut.

Variansi yang akan kita pakai disini juga variansi sampel, karena data yang kita gunakan adalalah data sampel. Dari rumus diatas sudah jelas bagai mana kita dapat mendapatkan nilai tersebut.

Jadi, Variansi: Sampel (s2) = 9.5 / 5 = 1.9. Varian sampel yang kita dapat yaitu: 1.9. dan Standar Deviasi (S) = √1.9 = 1.38.

Varians dan Standar Deviasi data Kelompok

Rumus varians dan standar deviasi untuk data kelompok adalah sebagai berikut

Contoh dari Varians dan Standar Deviasi untuk data berkelompok

Berikut merupakan nilai statistik dari 50 mahasiswa.

Kegunaan deviasi rata-rata dan deviasi standar

Baik deviasi rata-rata maupun deviasi standar keduanya berguna sebagai ukuran untuk mengetahui variabilitas data dan untuk mengetahui homogenitas data.